Traslaciones

Transformaciones en el plano

Cuando una persona se desplaza desde una posición a , se dice que hizo una transformación en el espacio. Si se traslada un punto o una figura, se experimenta una transformación en el plano. Una transformación en el plano es una correspondencia biunívoca sobre el plano, es decir, es una función f  que asigna a cada punto P del plano otro punto P´, único, llamado imagen de P.

Esta función es inyectiva, es decir, que cumple con que dos puntos distintos tienen imágenes distintas.

Algunas de las transformaciones en el plano son: traslación, rotación y simetría, las cuales representan movimientos en el plano que conservan la forma y el tamaño de la figura.

Traslación

Se puede hallar la imagen de un punto cualquiera a través de una traslación según un vector dado. Para ello se traza un vector equipolente al dado, cuyo origen sea el punto.

Ejemplo :

Determinar la imagen del punto P a través de una traslación por el vector u.

Procedimiento 

Se traza un vector equipolente a u cuyo origen sea el punto P.

Se marca el punto P´que es la imagen de P.

En general, la imagen de un punto P, bajo una traslación con un vector u, es una transformación en el plano que asigna a cada punto P un único punto P´ tal que los vectores PP y u sean equipolentes. El vector u se denomina vector de traslación.

La traslación según el vector u se denota mediante Tu . Por ejemplo, la expresión Tu (P) = P´ se denota que P´es la imagen del punto P bajo la traslación Tu.

Traslaciones en el plano cartesiano 

Para hallar la imagen de un punto M dado un vector de traslación u , se traza un vector equipolente al vector u partiendo de M. El punto extremo del vector trazado es la imagen de M según Tu, es decir, es M´. 

Cálculo de las coordenadas de la imagen de un punto 

Para obtener las coordenadas de un punto, que es imagen de otro dado mediante un vector de traslación, se usa la propiedad que indica que los componentes de dos vectores equipolentes son iguales.

Traslación de un segmento

La imagen de  un segmento, mediante un vector de traslación, se determina hallando las imágenes de los extremos del segmento a través del mismo vector y trazando el segmento que une las imágenes. 

   

Traslación de un ángulo

La imagen de un ángulo por una traslación, es un ángulo de igual medida al ángulo dado con sus lados respectivos paralelos entre sí. Para determinarla se hallan las imágenes del vértice y luego las imágenes de las semirrectas que conforman el ángulo.

Traslación de un polígono 

La imagen de un polígono bajo cualquier traslación se determina hallando la imagen de cada uno de los lados que forman el polígono. Para ello, se halla la imagen de los vértices que lo forman y luego se trazan los lados respectivos. 

Traslación de una circunferencia

Para hallar la imagen de una circunferencia de centro O y radio k mediante un vector de traslación u, se halla la imagen de centro O, a saber O´, y la imagen de un punto cualquiera de la circunferencia, llámese A dicho punto A´su imagen. La imagen de la circunferencia inicial es la circunferencia de centro O´y del mismo radio que k.

Composición de traslaciones  

Si a un punto se le aplica una traslación con vector u y a su imagen se le aplica una traslación de vector v, el punto obtenido es la imagen del punto inicial a través de una composición de traslaciones. Es decir, si P´ es la imagen del punto P bajo la traslación Tu y P´´ es la imagen de P´ bajo la traslación Tv, entonces P´´= Tu ( P´). La composición de ambas traslaciones, se denota por Tv[Tu (P)].